Вычислительные алгоритмы понижения порядка дробно-рациональных передаточных функций
Ключевые слова:
линейные системы, редукция моделей, передаточная функция, дробно-рациональная аппроксимацияАннотация
Задача редуцирования линейной динамической системы с постоянными коэффициентами рассматривается как задача аппроксимации ее исходной дробно-рациональной передаточной функции аналогичной функцией более низкого порядка. Ошибка аппроксимации определяется как интегральная квадратичная норма отклонения переходных характеристик исходной и редуцированной передаточной функции во временной области. Рассмотрены формулировки двух основных типов аппроксимационных задач: а) традиционная задача минимизации ошибки аппроксимации при заданном порядке редуцированной модели; б) задача минимизации порядка передаточной функции при заданном допуске на погрешность аппроксимации.
Разработаны алгоритмы решения задач аппроксимации, основанные на итерационном процессе Гаусса – Ньютона. На шаге итерации производится линеаризация текущего отклонения переходных характеристик по коэффициентам знаменателя редуцируемой передаточной функции. Линеаризованное отклонение используется для получения новых значений коэффициентов передаточной функции с помощью метода наименьших квадратов в функциональном пространстве на основе ортогонализации Грама – Шмидта. В работе получен общий вид выражений, представляющих линеаризованное отклонение переходных характеристик.
Для решения задачи минимизации порядка передаточной функции в рамках алгоритма метода наименьших квадратов также используется процесс Грама – Шмидта, условием завершения которого является достижение заданной допустимой нормы ошибки. Показано, что последовательность шагов процесса, соответствующая чередованию коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, обеспечивает минимальный порядок передаточной функции.
Дается обзор разработанных алгоритмов на случай векторной передаточной функции с общим знаменателем. Представлен алгоритм с заданием ошибки аппроксимации в виде геометрической суммы скалярных ошибок. Обсуждается использование минимаксной формы для оценки ошибки и возможность распространения предложенного подхода на задачу редуцирования нерациональной исходной передаточной функции.
Разработана экспериментальная программа, реализующая предложенные алгоритмы, и получены результаты численных расчетов на тестовых примерах различных типов.
Литература
2. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем // М.: Наука. 1985. 351 с.
3. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы // М. Физматлит. 2016. Т. 2. 441 с.
4. Antoulas A.C. et al. Model Order Reduction: Methods, Concepts and Properties // Coupled Multiscale Simulation and Optimization in Nanoelectronics. 2015. pp. 159–265.
5. Vishwakarma C.B., Prasad R. Time domain model order reductions using Hankel Matrix Approach // Journal of Franklin Institute. 2014. vol. 351. pp. 3445–3456.
6. Alsmadi O.M.K., Abo-Hammour Z.S. Substructure Preservation Model Order Reduction with Power System Model Investigation // Wulfenia journal. 2015. vol. 22(3). pp. 44–55.
7. Harutyunyan D. et al. Advanced Topics in Model Order Reduction // Coupled Multiscale Simulation and Optimization in Nanoelectronics. 2015. pp. 361–432.
8. Benner P., Hinze M., ter Maten E.J.W. Model Reduction for Circuit Simulation // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2011. vol. 74. 317 p.
9. Hochman A. et al. Reduced order models for electromagnetics // IEEE Transactions Antennas and Propagation. 2014. vol. 62. no. 6. pp. 3150–3162.
10. Romano D., Antonini G., Grossner U., Kovacevic-Badstuebner I.F. Circuit synthesis techniques of rational models of electromagnetic systems: A tutorial paper // International Journal of Numerical Modelling Electronic Networks Devices and Fields. 2019. vol. 32. no. 5. pp. e2612.
11. Benner P., Gugercin S., Willcox K. A Survey of Projection-Based Model Reduction Methods for Parametric Dynamical Systems // SIAM Review. 2015. vol. 57. no. 4. pp. 483–531.
12. Bai Z. Krylov subspace techniques for reduced-order modeling of large-scale dynamical systems // Applied Numerical Mathematics. 2002. vol. 43. no. 1-2. pp. 9–44.
13. Heres P.J., Schilders W.H.A. Orthogonalisation in Krylov subspace methods for model order reduction // Scientific Computing in Electrical Engineering. 2006. vol. 9. pp. 39–43.
14. Zimmerling J., Druskin V., Zaslavsky M., Remis R.F. Model-order reduction of electromagnetic fields in open domains // Geophysics. 2018. vol. 83(2). pp. WB61-WB70.
15. Rusakov S.G., Gourary M.M., Ulyanov S.L., Zharov M.M. The Concept of Redundancy for Techniques of Model Order Reduction in Circuit Simulation // International Conference “Mathematical and Informational Technologies” (MIT-2013). 2014. pp. 260–266.
16. Phillips J.R., Silveira L.M. Poor Man’s TBR: a simple model reduction scheme // IEEE Transactions on Computer-aided Design. 2005. vol. 24. no. 1. pp. 43–55.
17. Гурарий М.М., Жаров М.М., Русаков С.Г., Ульянов С.Л. Редуцирование модели электрической схемы с учетом характеристик внешних цепей // Информационные технологии. 2018. Т. 24. № 9. С. 563–572.
18. Bañuelos-Cabral E.S., Gutiérrez-Robles J.A., Gustavsen B. Rational Fitting Techniques for the Modeling of Electric Power Components and Systems Using MATLAB environment // Rational Fitting Techniques for the Modeling of Electric Power Components and Systems Using MATLAB Environment. 2017. pp. 1–46.
19. Coelho С.P., Phillips J.R., Silveira L.M. Robust raаional function approximation algorithm for model generation // Proceedings of the 36th annual ACM/IEEE Design Automation Conference. 1999. pp. 207–212.
20. Knockaert L., Ferranti F., Dhaene T. Vector Fitting vs. Levenberg-Marquardt: Some experiments // 2009 IEEE Workshop on Signal Propagation on Interconnects (SPI). 2009. pp. 1–4.
21. Singh R., Chatterjee K., Singh J. A Mixed Approach for Approximation of Higher Order Linear Time Invariant Systems // International Journal of Engineering & Technology. 2018. vol. 7. no. 4.39. pp. 375–380.
22. Singh J., Chatterjee K., Vishwakarma C.B. Model order reduction using eigen algorithm // International Journal of Engineering, Science and Technology. 2015. vol. 7. no. 3. pp. 17–23.
23. Rao P.S., Prasad R. Stable Mixed Reduced Order Models for Linear Dynamic Systems and their Qualitative Comparison // 2016 IEEE 1st International Conference on Power Electronics, Intelligent Control and Energy Systems (ICPEICES). 2016. pp. 1–4.
24. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука. 1966. 752 c.
25. Голуб Д., Ван Л.Ч. Матричные вычисления // М.: Мир. 1999. 548 с
26. Крянев А.В., Лукин Г.В., Давид У. Метрический анализ и обработка данных // М.: Физматлит. 2012. 280 с.
27. Плескунов М.А., Короткий А.И. Операционное исчисление. Учебное пособие для вузов // М.: Юрайт. 2018. 141 с.
28. Галеев Э.М. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. Учебное пособие // М.: Ленанд. 2018. 344 с.
29. Гурарий М.М., Жаров М.М., Русаков С.Г., Ульянов С.Л. Минимаксная оптимизация в задачах схемотехнического проектирования // Информационные технологии. 2018. Т. 24. № 7. С. 435–444.
30. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений // М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016. 584 c.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) Марк Моисеевич Гурарий, Сергей Григорьевич Русаков, Михаил Михайлович Жаров, Сергей Леонидович Ульянов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).