Сравнение изображений объектов методами вычислительной топологии
Ключевые слова:
распознавание образов, диффеоморфные преобразования, персистентные (ко)гомологии, расстояние ВассерштейнаАннотация
Используя алгоритмы вычислительной топологии, рассмотрены методы сравнения изображений объектов, которые представлены множествами точек. Предложены алгоритмы построения множеств вещественных баркодов для сравнения изображений объектов. Нахождение баркодов форм объектов позволяет изучать как непрерывные, так и дискретные структуры, что делает их использование полезным в вычислительной топологии. Отличительной особенностью использования предложенных методов сравнения по отношению к методам алгебраической топологии является получение большего количества информации о форме объекта. Важным направлением применения вещественных баркодов является изучение инвариантов больших объемов данных. Предлагается метод, который объединяет технологии построения баркодов с внедренной негеометрической информацией (цвет, момент времени формирования, давление пера), представленной в виде функций от симплициальных комплексов. Для этого баркоды расширяются функциями от симплексов для представления разнородной информации. Представленная структура расширенных баркодов повышает эффективность методов персистентных гомологий при сравнении изображений и распознавании образов. Предложена модификация метода Вассерштейна для нахождения расстояния между изображениями путем введения негеометрической информации о расстояниях между изображениями, обусловленной неравенствами функций исходного и терминального изображений соответствующих симплексов. Геометрические характеристики объекта могут изменяться при диффеоморфных деформациях; предложенные алгоритмы формирования расширенных баркодов изображений являются инвариантными к преобразованиям вращения и переноса. Рассмотрен метод определения расстояния между множествами точек, представляющими кривые, с учетом ориентации отрезков кривых. В работе используются понятия алгебраической и вычислительной топологии, теории лиевых групп, диффеоморфных преобразований.
Литература
2. Charon N., Charlier B., Trouvé A. Metamorphoses of functional shapes in Sobolev spaces // 2016. arXiv preprint arXiv: 1608.01832. 46 p.
3. Younes L., Arrate F., Miller M.I. Evolutions equations in computational anatomy // NeuroImage. 2009. vol. 45. no. 1. pp. S40–S50.
4. Younes L. Diffeomorphic Learning // 2018. arXiv preprint arXiv: 1806.01240. 17 p.
5. Zhang M., Fletcher P.T. Fast Diffeomorphic Image Registration via Fourier-Approximated Lie Algebras // International Journal of Computer Vision. 2018. vol. 127. no. 1. pp. 61–73.
6. Marsland S., McLachlan R.I. A Hamiltonian particle method for diffeomorphic image registration // Biennial International Conference on Information Processing in Medical Imaging. 2007. pp. 396–407.
7. Carlsson G. Topological pattern recognition for point cloud data // Acta Numerica. 2014. vol. 23. pp. 289–368.
8. Kerber M. Persistent Homology: State of the Art and Challenges // International Mathematische Nachrichten. 2016. vol. 231. no. 15-33. pp. 1.
9. Hatcher A. Algebraic topology // Cambridge UP. 2002. 544 p.
10. Deo S. Algebraic topology // Springer Nature Singapore Private Limited. 2018. 351 p.
11. Leichter S.V., Chukanov S.N. Comparing images based on their diffeomorphic transformation // Computer Optics. 2018. vol. 42. no. 1. pp. 96–104.
12. Durrleman S. et al. Deformetrics: morphometry of shape complexes with space deformations // Neuroimage. 2014. vol. 101. pp. 35–49.
13. Chukanov S.N., Ulyanov D.V. Formation of invariants in the visualization of vector fields based on the construction of the homotopy operator // Computer Optics. 2012. vol. 36. no. 4. pp. 622–626.
14. Chukanov S.N. Constructing invariants for visualization of vector fields defined by integral curves of dynamic systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2011. vol. 47. no. 2. pp. 151–155.
15. Edelsbrunner H. A Short Course in Computational Geometry and Topology // Springer. 2014. 110 p.
16. Edelsbrunner H., Virk Z., Wagner H. Topological Data Analysis in Information Space // 2019. arXiv preprint arXiv: 1903.08510.pdf. 18 p.
17. Polterovich L., Rosen D., Samvelyan K., Zhang J. Topological Persistence in Geometry and Analysis // 2016. arXiv preprint arXiv: 1904.04044.pdf. 127 p.
18. Adams H., Tausz A. JavaPlex Tutorial. URL: http://www.math.colostate.edu/~adams/research/javaplex_tutorial.pdf. 2011. 20 p. (дата обращения: 10.07.2018).
19. Chung F.R., Graham F.C. Spectral graph theory // American Mathematical Society. 1997. 207 p.
20. Cang Z., Wei G. Persistent cohomology for data with multicomponent heterogeneous information. 2018. arXiv preprint arXiv: 1807.11120. 25 p.
21. de Silva V., Morozov D., Vejdemo-Johansson M. Persistent cohomology and circular coordinates // Discrete and Computational Geometry. 2011. vol. 45. no. 4. pp. 737–759.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) 2019 Сергей Николаевич Чуканов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).