К синтезу квазилинейных гурвицевых систем управления
Ключевые слова:
объект, нелинейность, квазилинейная модель, управление, аналитический синтез, система, устойчивость в целомАннотация
Рассматривается задача синтеза систем управления нелинейными объектами с дифференцируемыми нелинейностями. Актуальность этой задачи обусловлена трудностями практического синтеза нелинейных систем управления большинством известных методов. Во многих случаях даже обеспечение этими методами только устойчивости положения равновесия синтезируемой системы представляет большую сложность. Отличительной особенностью рассматриваемого ниже метода синтеза нелинейных систем управления является использование моделей нелинейных объектов, представленных в квазилинейной форме. Эта форма нелинейных дифференциальных уравнений существует, если нелинейности в их правых частях являются дифференцируемыми по всем своим аргументам. Квазилинейная модель объекта управления позволяет свести задачу синтеза к решению алгебраической системы уравнений. Эта алгебраическая система имеет единственное решение в случае, когда объект является управляемым в соответствии с приведенным в статье условием управляемости, которое аналогично условию управляемости критерия Калмана. Процедура синтеза нелинейных систем управления на основе квазилинейных моделей объектов является очень простой. Практически, она близка к известному полиномиальному методу синтеза линейных систем управления. Уравнения нелинейных систем, синтезированных с применением квазилинейных моделей, могут быть всегда представлены в квазилинейной форме.
Основным результатом статьи является доказательство теоремы и следствия из нее об условиях асимптотической устойчивости в целом положения равновесия нелинейных систем управления, синтезированных на основе квазилинейных моделей объектов. При доказательстве теоремы и следствия используются свойства простых матриц и известные теоремы об устойчивости возмущенных систем дифференциальных уравнений. Порядок исследования устойчивости положения равновесия квазилинейных систем управления на основе доказанной теоремы иллюстрируется численными примерами. Компьютерное моделирование синтезированных квазилинейных систем управления свидетельствует о корректности условий доказанной теоремы.
Полученные результаты позволяют более обоснованно применять метод синтеза нелинейных систем на основе квазилинейных моделей при создании различных систем управления объектами энергетической, авиационной, космической, робототехнической и других отраслей промышленности.
Литература
2. Khalil N.K. Robust Servomechanism Output Feedback Controllers for Linearizable Systems // Automatica. 1994. vol. 30. no. 10. pp. 57–69.
3. Chen M. et al. Decomposition of Reachable Sets and Tubes for a Class of Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2018. vol. 63. no. 11. pp. 3675–3688.
4. Marino R., Tomei P. Nonlinear Control Design // Prentice Hall Europe. 1995. 396 p.
5. Колесникова С.И. Конструирование множественного управления нелинейным объектом // Труды СПИИРАН. 2017. Вып. 6(55). C. 114–133.
6. Gaiduk A.R. Nonlinear Control Systems Design by Transformation Method // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19. № 12. pp. 755–761.
7. Воевода А.А., Филюшев В.Ю. Линеаризация обратной связью // Сборник научных трудов НГТУ. 2016. № 2(84). С. 68–76.
8. Pshikhopov V., Medvedev M. Position Control of Vehicles with Multi-contour Adaptation // Journal of Engineering and Applied Sciences. 2018. vol. 13. pp. 8921–8928.
9. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме // Автоматика и телемеханика. 1981. № 4. С. 5–13.
10. Krstic M., Kanellakopouls I., Kokotović P.V. Passivity and Parametric Robustness of a New Class of Adaptive Systems // Automatica. 1994. vol. 30. no. 11. pp. 1703–1716.
11. Selivanov A., Fradkov A., Fridman E. Passification-based decentralized adaptive synchronization of dynamical networks with time-varying delays // Journal of the Franklin Institute. 2015. vol. 352. no. 1. pp. 52–72.
12. Fradkov A.L., Andrievsky B., Ananyevskiy M.S. Passification Based Synchronization of Nonlinear Systems under Communication Constraints and Bounded Disturbances // Automatica. 2015. vol. 55. pp. 287–293.
13. Wlambe R., Agarwal N., Kale S., Joshi V. Optimal Trajectory Generation for Car-type Mobile Robot using Spline Interpolation // IFAC-PapersOnline. 2016. vol. 49. no. 1. pp. 601–606.
14. Маликов А.И. Оценивание состояния и стабилизация непрерывных систем с неопределенными нелинейностями и возмущениями // Автоматика и телемеханика. 2016. № 5. С. 19–36.
15. Neydorf R. et al. "Cut-glue" approximation improvements with evolutionary-genetic algorithm for strongly nonlinear parametric dependencies of mathematical models // Improved Performance of Materials. 2018. pp. 245–257.
16. Xia M., Rahnama A., Wang S., Antsaklis P.J. Control Design Using Passivation for Stability and Performance // IEEE Transactions on Automatic control. 2018. vol. 63. no. 9. pp. 2987–2993.
17. Furtat I., Furtat E., Tupichin E.A. Modified Backstepping Algorithm with Disturbances Compensation // IFAC-PapersOnline. 2015. vol. 48. no. 11. pp. 1056–1061.
18. Chen C.C., Qian C., Sun Z.Y., Liang Y.W. Global Output Feedback Stabilization of a Class of Nonlinear Systems With Unknown Measurement Sensitivity // IEEE Transactions on Automatic control. 2018. vol. 63. no. 7. pp. 2212–2217.
19. Вражевский С.А. Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией возмущений для управления нелинейными объектами по выходу // Труды СПИИРАН. 2018. Вып. 3(58). C. 182–202.
20. Воевода А.А., Филюшев В.Ю. Линеаризация обратной связью: перевернутый маятник // Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. 2016. № 3. С. 49–60.
21. Mira M.C., Zang Z., Knott A., Andersen M.A.E. Analysis, Design, Modeling and Control of an Interleaved-boost Full-bridge Three-port Converter for Hybrid Renewable Energy Systems // IEEE Transactions on power electronics. 2017. vol. 32. no. 2. pp. 1138–1155.
22. Yang Y., Zhang H.H., Voyles R.M. Rotary inverted pendulum system tracking and stability control based on input-output feedback linearization and PSO-optimization fractional order PID controller // Automatic Control, Mechatronics and Industrial Engineering. 2019. pp. 79–84.
23. Филюшев В.Ю. Линеаризация нелинейного трехканального динамического объекта // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. 2017. № 1(66). С. 74–85.
24. Гайдук А.Р. Алгебраический синтез нелинейных стабилизирующих управлений // Синтез алгоритмов сложных систем. 1989. Вып. 7. С. 15–19.
25. Егоров И.Г. К устойчивости в целом нулевого решения системы двух дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 9. С. 1554–1549.
26. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2003. № 10. C. 144–148.
27. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход) // М.: Физматлит. 2012. 360 с.
28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц // М.: Наука. 1988. 552 с.
29. Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы // М.: УМ и ИЦ «Учебная литература». 2004. 252 с.
30. Ланкастер П. Теория матриц // М.: Наука. 1982. 272 с.
31. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: Наука. 1967. 472 с.
32. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие формулы // М.: Наука. 1978. 228 с.
33. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение // М.: Постмаркет. 2001. 184 с.
Towards Design of Quasilinear Gurvits Control Systems
Abstract
The design problem of control systems for nonlinear plants with differentiated nonlinearity is considered. The urgency of this problem is caused by the big difficulties of practical design of nonlinear control systems with the help of the majority of known methods. In many cases, even provision by these methods of just stability of equilibrium point of a designing system represents a big challenge. Distinctive feature of the method of nonlinear control systems design considered below is the use of the nonlinear plants models represented in a quasilinear form. This form of the nonlinear differential equations exists, if nonlinearities in their right parts are differentiated across all arguments. The quasilinear model of the controlled plant allows reducing the design problem to the solution of an algebraic equations system, which has the unique solution if the plant is controlled according to the controllability condition provided in the article. This condition is similar to the controllability condition of the Kalman’s criterion. Procedure of the nonlinear control systems design on a basis of the plant’s quasilinear models is very simple. Practically, it is close to the known polynomial method of the linear control systems design. The equations of the nonlinear systems designed with application of the plant’s quasilinear models also can be represented in the quasilinear form.
The basic result of this article is the proof of the theorem and the corollary from it about conditions of the asymptotical stability at whole of the equilibrium point of the nonlinear control systems designed on a basis of the plant’s quasilinear models. For the proof of the theorem and consequence, the properties of simple matrixes and known theorems of stability of the indignant systems of the differential equations are used. A way of the stability research of the equilibrium point of the quasilinear control systems based on the proved theorem is illustrated by numerical examples. Computer simulation of these systems verifies correctness of the hypoyhesis of the proved theorem.
Obtained results allow applying the method of nonlinear systems design on a basis of the quasilinear models for creation of various control systems for plants in power, aviation, space, robotechnical and other industries.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) 2019 Анатолий Романович Гайдук
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).