Динамические генераторы квазиортогональных матриц семейства Адамара
Ключевые слова:
динамические генераторы, квазиортогональные матрицы, детерминированный хаос, конечные поляАннотация
Исследуется задача построения нелинейных и линейных определенных в конечном поле генераторов квазиортогональных матриц семейства Адамара с малым количеством отличных между собой значений их элементов, не превосходящих по абсолютной величине 1, и глобальным или локальным значением детерминанта. Проанализированы свойства таких динамических систем, приведена классификация полученных с их помощью семейств матриц и их орнаментов, показан путь доказательства существования вещественных и целочисленных матриц, отличный от средств комбинаторного подхода. Значения, которым равны элементы матрицы, названы ее уровнями. Введены понятия адамаровой нормы и определителя квазиортогональной матрицы. Уровни, адамарова норма и определитель играют фундаментальную роль в определениях классов обобщенных матриц семейства Адамара. Выделены классы матриц Адамара, Белевича (конференц-матриц), Себерри (взвешенных матриц), Мерсенна, Эйлера, Одина (Зейделя), Ферма. Приведены формулы для значений их уровней. Орнаменты матриц Эйлера отвечают на вопрос максимальной сложности структуры матриц Адамара — бицикл с двойной каймой.Литература
1. Gene Awyzio and Jennifer Seberry. On good matrices and skew Hadamard matrices // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics: Algebraic Design Theory and Hadamard Matrices. Switzerland: Springer. 2015. P. 13–28.
2. Jongkil Kim, Willy Susilo, Man Ho Au and Jennifer Seberry. Efficient semi-static secure broadcast encryption scheme. // LNCS. Berlin: Springer Verlag. 2014. Vol. 2738.
3. Holzmann W.H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices up to Order 59 // Designs, Codes and Cryptography. 2008. No. 46. P. 343–352.
4. D.Ž. Doković. Williamson Matrices of Order 4n for n=33;35;39 // Discrete Math. 1993. Vol. 115. P. 267–271.
5. Olivia Di Matteo, Dragomir Z. Djokovic, Ilias S. Kotsireas. Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist // Special matrices. 2015. No. 3. P. 227–234.
6. Dragomir Ž. Doković. Generalization of Scarpis’ theorem on Hadamard matrices // Linear and Multilinear Algebra. P. 1–3 http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03081087.2016.1265062?journalCode=glma20. Published online: 07 Dec 2016. (Accepted 21 Nov 2016).
7. Petoukhov S. V. The Genetic Coding, United-Hypercomplex Numbers and Artificial Intelligence // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer, 2017. P. 2–13.
8. Петухов С. В. Матричная генетика, алгебры генетического кода, помехоустойчивость. – М: РХД. 2008. 316 с.
9. Moon Ho Lee, Han Hai, Sung Kook Lee, Petoukhov S.V. A Mathematical Proof of Double Helix DNA to Reverse Transcription RNA for Bioinformatics // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer. 2017. P. 23–38.
10. Манин Ю.И. Математика как метафора. – М: МЦМНО. 2008. 400 с.
11. Shechtman D. Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with LongRange Orientational Order and No Translational Symmetry // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 1951–1953.
12. Balonin N.A., Suzdal V.S. Symmetry of Life in Crystals // Functional materials, Institute for Single Crystals. 23. 2016. No. 4. P. 1–7.
13. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Суздаль В.С. Матричные модели обобщенной кристаллографии // Информационно-управляющие системы. 2016. № 4 (83). С. 27–33. DOI:10.15217/issn1684-8853.2016.4.26.
14. Балонин Н.А. Дискретные частотные характеристики элементарных динамических звеньев // Информационно-управляющие системы. 2015. № 4 (77). С. 17–24. DOI:10.15217/issn1684-8853.2015.4.17.
15. Sergeev A.M. Generalized Mersenne Matrices and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. Vol. 48. No. 4. P. 214–220. DOI: 10.3103/S0146411614040063
16. Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев А.М., Егорова И.С. О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел // Труды СПИИРАН. 2017. Вып. 50. C. 209–223. DOI:10.15622/sp.50.
17. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Расширение гипотезы Райзера на двуциклические структуры и разрешимость матриц Адамара орнаментом в виде бицикла с двойной каймой // Информационно-управляющие системы. 2017. № 1 (86). С. 2–10. DOI:10.15217/issn1684-8853.2017.1.2.
18. Glover K. All Optimal Hankel-norm Approximations of Linear Multivariables Systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39. No. 6. P. 1115–1193.
2. Jongkil Kim, Willy Susilo, Man Ho Au and Jennifer Seberry. Efficient semi-static secure broadcast encryption scheme. // LNCS. Berlin: Springer Verlag. 2014. Vol. 2738.
3. Holzmann W.H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices up to Order 59 // Designs, Codes and Cryptography. 2008. No. 46. P. 343–352.
4. D.Ž. Doković. Williamson Matrices of Order 4n for n=33;35;39 // Discrete Math. 1993. Vol. 115. P. 267–271.
5. Olivia Di Matteo, Dragomir Z. Djokovic, Ilias S. Kotsireas. Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist // Special matrices. 2015. No. 3. P. 227–234.
6. Dragomir Ž. Doković. Generalization of Scarpis’ theorem on Hadamard matrices // Linear and Multilinear Algebra. P. 1–3 http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03081087.2016.1265062?journalCode=glma20. Published online: 07 Dec 2016. (Accepted 21 Nov 2016).
7. Petoukhov S. V. The Genetic Coding, United-Hypercomplex Numbers and Artificial Intelligence // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer, 2017. P. 2–13.
8. Петухов С. В. Матричная генетика, алгебры генетического кода, помехоустойчивость. – М: РХД. 2008. 316 с.
9. Moon Ho Lee, Han Hai, Sung Kook Lee, Petoukhov S.V. A Mathematical Proof of Double Helix DNA to Reverse Transcription RNA for Bioinformatics // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education. Springer. 2017. P. 23–38.
10. Манин Ю.И. Математика как метафора. – М: МЦМНО. 2008. 400 с.
11. Shechtman D. Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with LongRange Orientational Order and No Translational Symmetry // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53. P. 1951–1953.
12. Balonin N.A., Suzdal V.S. Symmetry of Life in Crystals // Functional materials, Institute for Single Crystals. 23. 2016. No. 4. P. 1–7.
13. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Суздаль В.С. Матричные модели обобщенной кристаллографии // Информационно-управляющие системы. 2016. № 4 (83). С. 27–33. DOI:10.15217/issn1684-8853.2016.4.26.
14. Балонин Н.А. Дискретные частотные характеристики элементарных динамических звеньев // Информационно-управляющие системы. 2015. № 4 (77). С. 17–24. DOI:10.15217/issn1684-8853.2015.4.17.
15. Sergeev A.M. Generalized Mersenne Matrices and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. Vol. 48. No. 4. P. 214–220. DOI: 10.3103/S0146411614040063
16. Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев А.М., Егорова И.С. О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел // Труды СПИИРАН. 2017. Вып. 50. C. 209–223. DOI:10.15622/sp.50.
17. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Расширение гипотезы Райзера на двуциклические структуры и разрешимость матриц Адамара орнаментом в виде бицикла с двойной каймой // Информационно-управляющие системы. 2017. № 1 (86). С. 2–10. DOI:10.15217/issn1684-8853.2017.1.2.
18. Glover K. All Optimal Hankel-norm Approximations of Linear Multivariables Systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39. No. 6. P. 1115–1193.
Dynamic Generators of the Quasiortogonal Hadamard Matrix Family
Abstract
The problem of constructing non-linear and linear finite-field generators of quasi-orthogonal matrices of the Hadamard family with a small number of distinct values of their elements not exceeding by absolute value 1 and a global or local maximum of determinant is investigated. The properties of such dynamical systems are analyzed; the classification of the matrix families and their ornaments, obtained with their help, is described; the way of proving the existence of real and integer matrices different from the combinatorial approach is shown. The values to which the elements of the matrix are equal are called its levels. The concepts of the Hadamard norm and the determinant of a quasiorthogonal matrix are introduced. Levels, Hadamard norm and determinant play a fundamental role in the definitions of classes of generalized matrices of the Hadamard family. The classes of the Hadamard, Belevich (conference matrices), Seberri (weighing matrices), Mersenne, Euler, Odin (Seidel), Fermat matrices are described. The formulas for the values of their levels are given. Ornaments of Euler matrices answer to the question of the maximum complexity of Hadamard matrices — two border two circulant structure.
Опубликован
2017-10-12
Как цитировать
Балонин, Н. А., Сергеев, М. Б., & Суздаль, В. С. (2017). Динамические генераторы квазиортогональных матриц семейства Адамара. Труды СПИИРАН, 5(54), 224-243. https://doi.org/10.15622/sp.54.10
Раздел
Теоретическая и прикладная математика
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
