Сравнительное исследование преимуществ структурных методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Ключевые слова:
численные методы, обыкновенные дифференциальные уравнения, вложенные методы, MATLAB, структурные методы, ode45Аннотация
Рассматриваются вопросы, связанные с тестированием эффективности практической реализации методов решения начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализируется алгоритм, заложенный в программную реализацию метода Дорманда — Принса (процедуры ode45 — наиболее популярной из входящих в стандартный набор методов MATLAB). Представлены разработанные авторами так называемые структурные методы решения систем уравнений специального вида, которые на одном шаге требуют меньше вычислений, чем метод Дорманда — Принса, используемый в ode45. Структурные методы реализованы на базе того же алгоритмического и программного ядра, что лежит в основе ode45 с целью обеспечения максимально объективного сравнения эффективности работы каждого из рассматриваемых методов. На ряде примеров демонстрируется превосходство полученных процедур над ode45 по соотношению глобальной погрешности и вычислительных затрат.Литература
1. Kalogiratou Z. et al. Runge–Kutta type methods with special properties for the numerical integration of ordinary differential equations // Phys. Rep. 2014. vol. 536, no. 3, pp. 75–146.
2. Niegemann J., Diehl R., Busch K. Efficient low-storage Runge–Kutta schemes with optimized stability regions // J. Comp. Phys. 2012. vol. 231, no. 2. pp. 364–372.
3. Hadjimichael Y. et al. SSP ERKs of Maximal Effective Order // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 4. pp. 2149–2165.
4. Kosti A.A., Anastassi Z.A., Simos T.E. An optimized explicit Runge–Kutta–Nyström method for the numerical solution of orbital and related periodical initial value problems // Comput. Phys. Comm. 2012. vol. 183. no. 3, pp. 470–479.
5. Nassif N.R., Makhoul-Karam N., Erhel J. A globally adaptive explicit numerical method for exploding systems of ordinary differential equations // Appl. Numer. Math. 2013. vol. 67, pp. 204–219.
6. Balac S., Mahé F. Embedded Runge–Kutta scheme for step-size control in the interaction picture method // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 4, pp. 1211–1219.
7. Kulikov G.Yu. Cheap global error estimation in some Runge–Kutta pairs // IMA J Numer Anal. 2013. vol. 33. no. 1. pp. 136–163.
8. Hofer E. A partially implicit method for large stiff systems of ODEs with only few equations introducing small time-constants // SIAM J. Numer. Anal. 1976. vol. 13. no. 5. pp. 645–663.
9. McLachlan R.I., Ryland B.N., Sun Y. High order multisymplectic Runge–Kutta methods // SIAM J. Sci. Comput. 2014. vol. 36. no. 5, pp. A2199–A2226.
10. Wang D., Xiao A., Li X. Parametric symplectic partitioned Runge–Kutta methods with energy-preserving properties for Hamiltonian systems // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 2. pp. 303–310.
11. Ketcheson D.I., MacDonald C.B., Ruuth S.J. Spatially partitioned embedded Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 5. pp. 2887–2910.
12. Sandu A., Günther M. A generalized-structure approach to additive Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2015. vol. 53. no. 1. pp. 17–42.
13. Günther M., Sandu A. Multirate generalized additive Runge–Kutta methods // Numerische Mathematik. 2016. vol. 133, no. 3, pp. 497–524.
14. Еремин А. С., Олемской И. В. Вложенный метод интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010. Т. 50. № 3. С. 434–448.
15. Olemskoy I.V., Eremin A.S. An embedded fourth order method for solving structurally partitioned systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2015. vol. 9, no. 97, pp. 4843–4852.
16. Олемской И. В. Методы интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений // СПб: СПбГУ, 2009. 179 с.
17. Документация по MATLAB на официальном сайте. Раздел Choose an ODE Solver. URL: https://www.mathworks.com/help/Matlab/math/choose-an-ode-solver.html (дата обращения: 14.12.2016).
18. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge–Kutta formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. vol. 6. no. 1. pp. 19–26.
19. Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Том 1. Нежёсткие задачи // М.: Мир, 1990. 512 с.
20. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков // СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 276 c.
21. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы в классе дискретных управлений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1499–1509.
22. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана — Принса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005. Т. 45. № 7. С. 1181–1191.
23. Olemskoy I.V., Eremin A.S., Kovrizhnykh N.A. Embedded methods of order six for special systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2017. vol. 11, no. 1, pp. 31–38.
24. Calvo M., Montijano J.I., Randez L. A new embedded pair of Runge–Kutta formulas of orders 5 and 6 // Comput. & Math. with Appl. 1990. vol. 20. no. 1. pp. 15–24.
25. Hull T.E. et al. Comparing numerical methods for ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1972. vol. 9. no. 4. pp. 603–637.
2. Niegemann J., Diehl R., Busch K. Efficient low-storage Runge–Kutta schemes with optimized stability regions // J. Comp. Phys. 2012. vol. 231, no. 2. pp. 364–372.
3. Hadjimichael Y. et al. SSP ERKs of Maximal Effective Order // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 4. pp. 2149–2165.
4. Kosti A.A., Anastassi Z.A., Simos T.E. An optimized explicit Runge–Kutta–Nyström method for the numerical solution of orbital and related periodical initial value problems // Comput. Phys. Comm. 2012. vol. 183. no. 3, pp. 470–479.
5. Nassif N.R., Makhoul-Karam N., Erhel J. A globally adaptive explicit numerical method for exploding systems of ordinary differential equations // Appl. Numer. Math. 2013. vol. 67, pp. 204–219.
6. Balac S., Mahé F. Embedded Runge–Kutta scheme for step-size control in the interaction picture method // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 4, pp. 1211–1219.
7. Kulikov G.Yu. Cheap global error estimation in some Runge–Kutta pairs // IMA J Numer Anal. 2013. vol. 33. no. 1. pp. 136–163.
8. Hofer E. A partially implicit method for large stiff systems of ODEs with only few equations introducing small time-constants // SIAM J. Numer. Anal. 1976. vol. 13. no. 5. pp. 645–663.
9. McLachlan R.I., Ryland B.N., Sun Y. High order multisymplectic Runge–Kutta methods // SIAM J. Sci. Comput. 2014. vol. 36. no. 5, pp. A2199–A2226.
10. Wang D., Xiao A., Li X. Parametric symplectic partitioned Runge–Kutta methods with energy-preserving properties for Hamiltonian systems // Comput. Phys. Comm. 2013. vol. 184. no. 2. pp. 303–310.
11. Ketcheson D.I., MacDonald C.B., Ruuth S.J. Spatially partitioned embedded Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2013. vol. 51. no. 5. pp. 2887–2910.
12. Sandu A., Günther M. A generalized-structure approach to additive Runge–Kutta methods // SIAM J. Numer. Anal. 2015. vol. 53. no. 1. pp. 17–42.
13. Günther M., Sandu A. Multirate generalized additive Runge–Kutta methods // Numerische Mathematik. 2016. vol. 133, no. 3, pp. 497–524.
14. Еремин А. С., Олемской И. В. Вложенный метод интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010. Т. 50. № 3. С. 434–448.
15. Olemskoy I.V., Eremin A.S. An embedded fourth order method for solving structurally partitioned systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2015. vol. 9, no. 97, pp. 4843–4852.
16. Олемской И. В. Методы интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений // СПб: СПбГУ, 2009. 179 с.
17. Документация по MATLAB на официальном сайте. Раздел Choose an ODE Solver. URL: https://www.mathworks.com/help/Matlab/math/choose-an-ode-solver.html (дата обращения: 14.12.2016).
18. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge–Kutta formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. vol. 6. no. 1. pp. 19–26.
19. Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Том 1. Нежёсткие задачи // М.: Мир, 1990. 512 с.
20. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков // СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 276 c.
21. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы в классе дискретных управлений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1499–1509.
22. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана — Принса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005. Т. 45. № 7. С. 1181–1191.
23. Olemskoy I.V., Eremin A.S., Kovrizhnykh N.A. Embedded methods of order six for special systems of ordinary differential equations // Appl. Math. Sci. 2017. vol. 11, no. 1, pp. 31–38.
24. Calvo M., Montijano J.I., Randez L. A new embedded pair of Runge–Kutta formulas of orders 5 and 6 // Comput. & Math. with Appl. 1990. vol. 20. no. 1. pp. 15–24.
25. Hull T.E. et al. Comparing numerical methods for ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1972. vol. 9. no. 4. pp. 603–637.
Опубликован
2017-07-03
Как цитировать
Бубнов, В. П., Еремин, А. С., Коврижных, Н. А., & Олемской, И. В. (2017). Сравнительное исследование преимуществ структурных методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды СПИИРАН, 4(53), 51-72. https://doi.org/10.15622/sp.53.3
Раздел
Теоретическая и прикладная математика
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
