Барицентрические координаты Пуассона — Римана
Ключевые слова:
гармонические барицентрические координаты, интеграл Пуассона, односвязная замкнутая дискретная областьАннотация
В статье выполнено решение задачи нахождения барицентрических координат для произвольных односвязных замкнутых дискретных областей, заданных в и . Барицентрические координаты задаются набором скалярных параметров, однозначно определяющих точку аффинного пространства внутри односвязной замкнутой дискретной области через заданный точечный базис. Точечный базис задается вершинами односвязной замкнутой дискретной области. Определяемые барицентрические координаты для односвязной замкнутой дискретной области являются гармоническими и удовлетворяют свойствам аффинной инвариантности, положительной определенности и равенстве единице. Решение основано на теореме Римана о единственности конформного отображения и интегральной формуле Пуассона для шара. Приведены примеры аппроксимации потенциала внутри произвольных односвязных замкнутых дискретных областей по предложенному методу в сравнении с аппроксимацией методом конечных элементов.Литература
1. Архипов Н.С., Полянский И.С., Степанов Д.Е. Барицентрический метод в задачах анализа поля в регулярном волноводе с произвольным поперечным сечением // Антенны. 2014. № 10. С. 10–21.
2. Duczek S., Gabbert U. The finite cell method for polygonal meshes: poly-FCM // Computational Mechanics. 2016. vol. 58. pp. 587–618.
3. Kraus M., Steinmann P. Finite element formulations for 3D convex polyhedra in nonlinear continuum mechanics // International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2012. vol. 19. pp. 121–134.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование // Москва: Изд-во физ.-мат. лит. 2002. 472 с.
5. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс // М.: Наука. 1973. 197 с.
6. Belyaev A. On Transfinite Barycentric Coordinates // Proc. Fourth Eurographics Symp. Geometry Processing (SGP ’06). 2006. pp. 89–99.
7. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 1) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 30–36.
8. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 2) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 36–42.
9. Wachspress E.L. A Rational Finite Element Basis // New York: Academic Press. 1975. 331 p.
10. Michael S. Floater Mean value coordinates // Computer Aided Geometric Design. 2003. vol. 1(20). pp. 19–27.
11. Lipman Ya., Kopf J., Cohen-Or D., Levin D. In A. Belyaev and M. Garland editors. GPU-assisted Positive Mean Value Coordinates for Mesh Deformations // Geometry Processing, Eurographics Symposium Proceedings. 2007. pp. 117–123.
12. Gordon W.J., Wixom J.A. Pseudo-harmonic interpolation on convex domains // SIAM J. Numer. Anal. 1974. vol 11. pp. 909–933.
13. Manson J., Li K., Schaefer S. Positive Gordon-Wixom Coordinates. Computer Aided Design. 2011. vol. 43. no. 11. pp. 1422–1426.
14. Hormann K., Sukumar N. Maximum Entropy Coordinates for Arbitrary Polytopes // Computer Graphics Forum. 2008. vol. 27. no. 5. pp. 1513–1520.
15. Manson J., Schaefe S. Moving Least Squares Coordinates // Proc. Symp. Geometry Processing. 2010. pp. 1517–1524.
16. Li X.Y., Hu S.M. Poisson Coordinates // IEEE Transactions on visualization and computer graphics. 2013. vol. 19. no. 2. pp. 344–352.
17. Chan R., Gotsman C. On pseudo-harmonic barycentric coordinates // Computer aided geometric design. 2016. vol. 44. pp. 15–35.
18. Thiery J.-M., Tierny J., Boubekeur T. Jacobians and Hessians of mean value coordinates for closed triangular meshes // The Visual Computer. 2013.
19. Langer T., Belyaev A., Seidel H.-P. Spherical barycentric coordinates // SGP 2006: Fourth Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing. 2006. pp. 81–88.
20. Gillette A., Rand A., Bajaj C. Error estimates for generalized barycentric interpolation // Adv. Comp. Math. 2012. vol 37. pp. 417–439.
21. Chan R., Gotsman C. Complex transfinite barycentric mappings with similarity kernels // Eurographics Symposium on Geometry Processing. 2016. vol. 35. no. 19.
22. Радыгин В.М., Полянский И.С. Модифицированный метод последовательных конформных отображений наперед заданных многоугольных областей // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2016. №1(39). С. 25–35.
23. Лаврентьев М.А. Конформное отображение с приложениями к некоторым вопросам механики. Москва: ОГИЗ. 1946. 159 с.
24. Ju T., Liepa P., Warren J. A general geometric construction of coordinates in a convex simplicial polytope // Computer Aided Geometric Design. 2007. vol. 3(24). pp. 161–178.
25. Floter M.S. Generalized barycentric coordinates and applications // Cambridge University Press. 2016. 50 p.
26. Floter M.S., Horman K., Kos G. A general construction of barycentric coordinates over convex polygons // Advances in Computational Mathematics. 2006. vol. 24. no. 1–4. pp. 311–331.
2. Duczek S., Gabbert U. The finite cell method for polygonal meshes: poly-FCM // Computational Mechanics. 2016. vol. 58. pp. 587–618.
3. Kraus M., Steinmann P. Finite element formulations for 3D convex polyhedra in nonlinear continuum mechanics // International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2012. vol. 19. pp. 121–134.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование // Москва: Изд-во физ.-мат. лит. 2002. 472 с.
5. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс // М.: Наука. 1973. 197 с.
6. Belyaev A. On Transfinite Barycentric Coordinates // Proc. Fourth Eurographics Symp. Geometry Processing (SGP ’06). 2006. pp. 89–99.
7. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 1) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 30–36.
8. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 2) // Вестник СГТУ. 2015. № 1(78). С. 36–42.
9. Wachspress E.L. A Rational Finite Element Basis // New York: Academic Press. 1975. 331 p.
10. Michael S. Floater Mean value coordinates // Computer Aided Geometric Design. 2003. vol. 1(20). pp. 19–27.
11. Lipman Ya., Kopf J., Cohen-Or D., Levin D. In A. Belyaev and M. Garland editors. GPU-assisted Positive Mean Value Coordinates for Mesh Deformations // Geometry Processing, Eurographics Symposium Proceedings. 2007. pp. 117–123.
12. Gordon W.J., Wixom J.A. Pseudo-harmonic interpolation on convex domains // SIAM J. Numer. Anal. 1974. vol 11. pp. 909–933.
13. Manson J., Li K., Schaefer S. Positive Gordon-Wixom Coordinates. Computer Aided Design. 2011. vol. 43. no. 11. pp. 1422–1426.
14. Hormann K., Sukumar N. Maximum Entropy Coordinates for Arbitrary Polytopes // Computer Graphics Forum. 2008. vol. 27. no. 5. pp. 1513–1520.
15. Manson J., Schaefe S. Moving Least Squares Coordinates // Proc. Symp. Geometry Processing. 2010. pp. 1517–1524.
16. Li X.Y., Hu S.M. Poisson Coordinates // IEEE Transactions on visualization and computer graphics. 2013. vol. 19. no. 2. pp. 344–352.
17. Chan R., Gotsman C. On pseudo-harmonic barycentric coordinates // Computer aided geometric design. 2016. vol. 44. pp. 15–35.
18. Thiery J.-M., Tierny J., Boubekeur T. Jacobians and Hessians of mean value coordinates for closed triangular meshes // The Visual Computer. 2013.
19. Langer T., Belyaev A., Seidel H.-P. Spherical barycentric coordinates // SGP 2006: Fourth Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing. 2006. pp. 81–88.
20. Gillette A., Rand A., Bajaj C. Error estimates for generalized barycentric interpolation // Adv. Comp. Math. 2012. vol 37. pp. 417–439.
21. Chan R., Gotsman C. Complex transfinite barycentric mappings with similarity kernels // Eurographics Symposium on Geometry Processing. 2016. vol. 35. no. 19.
22. Радыгин В.М., Полянский И.С. Модифицированный метод последовательных конформных отображений наперед заданных многоугольных областей // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2016. №1(39). С. 25–35.
23. Лаврентьев М.А. Конформное отображение с приложениями к некоторым вопросам механики. Москва: ОГИЗ. 1946. 159 с.
24. Ju T., Liepa P., Warren J. A general geometric construction of coordinates in a convex simplicial polytope // Computer Aided Geometric Design. 2007. vol. 3(24). pp. 161–178.
25. Floter M.S. Generalized barycentric coordinates and applications // Cambridge University Press. 2016. 50 p.
26. Floter M.S., Horman K., Kos G. A general construction of barycentric coordinates over convex polygons // Advances in Computational Mathematics. 2006. vol. 24. no. 1–4. pp. 311–331.
Опубликован
2016-12-15
Как цитировать
Полянский, И. С. (2016). Барицентрические координаты Пуассона — Римана. Труды СПИИРАН, 6(49), 32-48. https://doi.org/10.15622/sp.49.2
Раздел
Теоретическая и прикладная математика
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
