О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел
Ключевые слова:
числовые последовательности, числа Мерсенна, числа Ферма, ортогональные матрицы, квазиортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Мерсенна, матрицы Эйлера, матрицы Ферма, цепочки матриц, алгоритмы вычисления квазиортогональных матрицАннотация
Цель работы: показать связь чисел, принадлежащих известным после-довательностям, и квазиортогональных матриц, существующих на порядках, равных этим числам, а также взаимосвязь таких матриц через алгоритмы вычисления. Методы: анализ последовательностей квазиортогональных матриц абсолютного и локального максимумов детерминанта, выделение в матрицах структурных инвариантов, сопоставление алгоритмов вычисления таких матриц. Результаты: рассмотрены известные последовательности натуральных чисел, сформулировано определение матрицы, ассоциированной с натуральным числом. Приведены последовательности чисел, для которых доказано существование ассоциированных с ними квазиортогональных матриц. Высказано предположение, что ассоциированные матрицы существуют для всех натуральных чисел. Рассмотрены свойства типов таких матриц, их взаимосвязи через алгоритмы вычисления. Приведены модифицированные алгоритмы и основные цепочки матриц Эйлера и Мерсенна, последовательности порядков которых являются системообразующими. Практическая значимость: квазиортогональные матрицы абсолютного и локального максимумов детерминанта имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Их разнообразие позволяет разработчикам технических систем значительно облегчить выбор матрицы, оптимальной для конкретной задачи.Литература
1. Algebraic Design Theory and Hadamard Matricess / Edited by C.J. Colbourn // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics (ADTHM). 2014. vol. 133. 260 p.
2. Shalom E. La conjecture de Hadamard (I) – Images des Mathématiques, CNRS. 2012. URL: http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I.html (дата обращения: 15.03.2016).
3. Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 11. С. 51–55.
4. Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Philosophical Magazine. 1867. vol. 34. no. 232. pp. 461–475.
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. vol. 17. pp. 240–246.
6. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matriсes // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 6. pp. 285–293.
7. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. vol. 26. pp. 231–244.
8. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
9. Sergeev A. Generalized Mersenne Matriсes and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. vol. 4. pp. 35–43.
10. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
11. Balonin N.A., Vostrikov A.A., and Sergeev M.B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. vol. 49. no. 3. pp. 153–158.
12. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Matrices with Level Based on Ratio of Fibonacci Numbers // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 86. pp. 4261–4268.
13. Balonin N.A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). pp. 2–7.
14. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
15. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
16. Djokovic D.Z., Kotsireas I. S. Compression of periodic complementary sequences and applications // Des. Codes Cryptogr. 2015. vol. 74. pp. 365–377.
2. Shalom E. La conjecture de Hadamard (I) – Images des Mathématiques, CNRS. 2012. URL: http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Hadamard-I.html (дата обращения: 15.03.2016).
3. Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 11. С. 51–55.
4. Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Philosophical Magazine. 1867. vol. 34. no. 232. pp. 461–475.
5. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux determinants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. vol. 17. pp. 240–246.
6. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Local Maximum Determinant Matriсes // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 6. pp. 285–293.
7. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony // Electr. Commun. 1950. vol. 26. pp. 231–244.
8. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
9. Sergeev A. Generalized Mersenne Matriсes and Balonin’s Conjecture // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. vol. 4. pp. 35–43.
10. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
11. Balonin N.A., Vostrikov A.A., and Sergeev M.B. On Two Predictors of Calculable Chains of Quasi-Orthogonal Matrices // Automatic Control and Computer Sciences. 2015. vol. 49. no. 3. pp. 153–158.
12. Balonin N.A., Sergeev M.B. Quasi-Orthogonal Matrices with Level Based on Ratio of Fibonacci Numbers // Applied Mathematical Sciences. 2015. vol. 9. no. 86. pp. 4261–4268.
13. Balonin N.A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). pp. 2–7.
14. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
15. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
16. Djokovic D.Z., Kotsireas I. S. Compression of periodic complementary sequences and applications // Des. Codes Cryptogr. 2015. vol. 74. pp. 365–377.
Опубликован
2017-02-02
Как цитировать
Балонин, Ю. Н., Востриков, А. А., Сергеев, А. М., & Егорова, И. С. (2017). О взаимосвязях квазиортогональных матриц, построенных на известных последовательностях чисел. Труды СПИИРАН, 1(50), 209-223. https://doi.org/10.15622/sp.50.9
Раздел
Теоретическая и прикладная математика
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
