О частичной устойчивости нелинейных дискретных систем с запаздыванием
Ключевые слова:
система нелинейных дискретных уравнений с запаздыванием, частичная устойчивость, метод функционалов Ляпунова – Красовского в пространстве дискретных функций, однопараметрическое семейство функционаловАннотация
Рассматривается система нелинейных дискретных (конечно-разностных) уравнений общего вида с ограниченным запаздыванием. Интерес к задачам устойчивости таких систем в последние годы значительно возрос; в частности, это связано с актуальными проблемами управления через сеть. В основном анализируется задача устойчивости по всем переменным нулевого положения равновесия, поскольку заменой переменных к такой задаче сводится задача устойчивости по всем переменным любого решения рассматриваемой системы. Одним из основных методов исследования является дискретно-функциональный вариант прямого метода Ляпунова, получивший существенное развитие в теоретическом и прикладном аспектах. В данной статье предполагается, что рассматриваемая система уравнений допускает «частичное» (нулевое) положение равновесия, и ставится задача устойчивости по отношению к части определяющих это положение равновесия переменных. Такая задача относится к более общим задачам частичной устойчивости, которые исследуются для нелинейных динамических систем различной формы математического описания. Предложенная постановка задачи частичной устойчивости дополняет круг указанных исследований применительно к классу рассматриваемых систем. Для решения поставленной задачи применяется метод функционалов Ляпунова – Красовского в пространстве дискретных функций при соответствующей конкретизации требований к функционалам. Ослабления таких требований можно добиться введением дополнительных дискретных функций, посредством которых: 1) проводится корректировка области функционального пространства, где строятся функционалы Ляпунова – Красовского; 2) находятся оценки функционалов и их разностей (приращений) в силу рассматриваемой системы. В результате используемые функционалы и их разности (приращения) могут быть знакопеременными в области функционального пространства, обычно рассматриваемой при анализе частичной устойчивости. На основе предложенного подхода получены достаточные условия частичной устойчивости (асимптотической устойчивости) указанного вида. Особенности подхода показаны на примере двух классов нелинейных систем заданной структуры, для которых частичная устойчивости анализируется в пространстве параметров. При этом обращается внимание на целесообразность использования семейства функционалов.
Литература
2. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.
3. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations, 3-ed. N.Y.: Springer, 2005. 540 p. DOI: 10.1007/0-387-27602-5.
4. Александров А.Ю., Жабко А.П., Платонов А.В. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: Изд. Дом Федоровой Г.В., 2015. 154 с.
5. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. МГУ. Сер. Матем., Механика, Физика, Астрономия, Химия. 1957. № 4. C. 9–16.
6. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3−59.
7. Haddad W.M., Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach. Princeton: Princeton Univ. Press, 2008. 976 p.
8. Ramírez‐Llanos E., Martínez S. Distributed Discrete‐Time Optimization Algorithms with Applications to Resource Allocation in Epidemics Control // Optimal Control Appl. Meth. 2018. vol. 39. no. 1. pp. 160−180.
9. Shafiei M.H., Vazirpour N. The Approach of Partial Stabilization in Design of Discrete-Time Robust Guidance Laws against Maneuvering Targets // Aeronautical J. 2020. vol. 124. no. 1277. pp. 1114−1127.
10. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в системах разностных уравнений: устойчивость относительно части переменных // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 3. C. 407–415.
11. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об одном подходе к анализу устойчивости «частичных» положений равновесия нелинейных дискретных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2022. Т. 63. № 3. С. 57–68.
12. Shaikhet L. Lyapunov Functionals and Stability of Stochastic Difference Equations. N.Y.: Springer, 2011. 370 p.
13. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design. N.Y.: Dover Publ, Inc., 2013. 576 p.
14. Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control. Boston: Birkhauser, 2014. 362 p. DOI: 10.1007/978-3-319-09393-2.
15. Hetel L., Daafouz J., Iung C. Equivalence between the Lyapunov–Krasovskii Functionals Approach for Discrete Delay Systems and that of the Stability Conditions for Switched Systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2008. vol. 2. no. 3. pp. 697–705.
16. Родионов А.М. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 86–93.
17. Elaydi S., Zhang S. Stability and Periodicity of Difference Equations with Finite Delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1994. vol. 37. no. 3. pp. 401–413.
18. Анашкин О.В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 7. C. 976–978.
19. Pepe P., Pola G., Di Benedetto M.D. On Lyapunov–Krasovskii Characterizations of Stability Notions for Discrete-Time Systems with Uncertain Time-Varying Time Delays // IEEE Trans. Automatic Control. 2017. vol. 63. no. 6. pp. 1603–1617.
20. Aleksandrov A.Y., Aleksandrova E.B. Delay-Independent Stability Conditions for a Class of Nonlinear Difference Systems // J. of the Franklin Institute. 2018. vol. 355. no. 7. pp. 3367–3380.
21. Zhou B. Improved Razumikhin and Krasovskii Approaches for Discrete-Time Time-Varying Time-Delay Systems // Automatica. 2018. vol. 91. pp. 256–269.
22. Li X., Wang R., Du S., Li T. An Improved Exponential Stability Analysis Method for Discrete‐Time Systems with a Time‐Varying Delay // Intern. J. Robust Nonlin. Control. 2022. vol. 32. no. 2. pp. 669–681.
23. Guo Y., Xu X., Liu L., Wang Y., Feng G. New Results on Stability of Discrete-Time Systems with Infinite Delays // Automatica. 2022. vol. 136. no. 110043.
24. Zhang K., Braverman E., Gharesifard B. Event-Triggered Control for Discrete-Time Delay Systems // Automatica. 2023. vol. 147. no. 110688.
25. Seuret A., Gouaisbaut F., Fridman E. Stability of Discrete-Time Systems with Time-Varying Delays via a Novel Summation Inequality // IEEE Trans. Automatic Control. 2015. vol. 60. no. 10. pp. 2740–2745.
26. Lin H., Zeng H., Wang W. New Lyapunov-Krasovskii Functional for Stability Analysis of Linear Systems with Time-Varying Delay // J. Systems Science and Complexity. 2021. vol. 34. no. 2. pp. 632–641.
27. Zhu L., Zhu C. Enhanced Stability Criteria for Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay // Intern. J. Control, Autom. Systems. 2021. vol. 19. no. 7. pp. 2385–2394.
28. Demidenko G.V., Matveeva I.I. The Second Lyapunov Method for Time-Delay Systems // International workshop on Functional Differential Equations and Applications: FDEA-2019. Singapore: Springer, 2022. pp. 145–167.
29. Zhang X.M., Han Q.L., Ge X., Peng C. Stability Analysis of Delayed Discrete-Time Systems based on a Delay-Square-Dependent Lyapunov Functional // Automatica. 2023. vol. 147. no. 110592.
30. Diblík J. Exponential Stability of Linear Discrete Systems with Multiple Delays by Degenerated Lyapunov–Krasovskii Functionals // Applied Mathematics Letters. 2023. vol. 142. no. 110592.
31. Liz E. Stability of Non-Autonomous Difference Equations: Simple Ideas Leading to Useful Results // J. Difference Equat. 2011. vol. 17. no. 2. pp. 203–220.
32. Малыгина В.В. Асимптотические свойства решений линейных дифференциальных и разностных уравнений с последействием. Дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат. наук. Пермь: Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2021. 279 c.
33. Дашковский С.Н., Ефимов Д.В., Cонтаг Э.Д. Устойчивость от входа к состоянию и смежные свойства систем // Автоматика и телемеханика. 2011. № 8. С. 3–40.
34. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2017. Т. 18. № 6. С. 371–375.
35. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2021. № 9. С. 116–132.
36. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия систем с последействием // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 4. С. 496–503.
37. Воротников В.И. К частичной устойчивости и детектируемости функционально-дифференциальных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 2020. № 2. С. 3–17.
38. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448 p.
Опубликован
Как цитировать
Раздел
Copyright (c) Владимир Ильич Воротников
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале. Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).