Современные методы символьных вычислений: ляпуновские величины и 16-я проблема Гильберта
Ключевые слова:
символьные вычисления, ляпуновские величины, слабый фокус, 16-я проблема Гильберта, малые предельные циклыАннотация
Данная работа посвящена различным методам вычисления ляпуновских величин и реализациям основанных на них алгоритмов символьных вычислений в пакете Матлаб.Литература
Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. Л.: ОГИЗ: Гостехиздат, 1949.
Серебрякова Н.Н. О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где безопасная граница переходит в опасную // Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение, 2, 1959, с. 178-182
Щуко С.Д. Вычисление ляпуновских величин ан ЭВЦМ // Труды Горьковского инст. инж. водного транспорта, № 94, 1968, с. 97-109
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Computation of Lyapunov quantities. 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (http://lib.physcon.ru/?item=1802), 2008.
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Limit cycles and strange behavior of trajectories in two dimension quadratic systems. // Journal of Vibroengineering, Vol. 10, Iss. 4, 2008, pp. 460-467.
Leonov G.A., Kuznetsov, N.V. and Kudryashova E.V. Limit cycles of two dimensional systems. Calculations, proofs, experiments. // Vestnik St.Petersburg University. Mathematics, 41(3), 2008, pp. 216-250.
Kuznetsov N.V. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications. Jyvaskyla University Printing House, Jyvaskyla, 2008
Poincare H. Memoire sur les courbes denies par lesequations dieentielles. // J. de. Mathematiques Pures et Appliquees, 4, Vol. 1, 1885, pp. 167-244
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892
Leonov G.A. and Kuznetsov N.V. Time-Varying Linearization and Perron eects. // International journal of bifurcation and chaos Vol. 17, issue 4, 2007, pp. 1-29
Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр // Мат. сборник (Н.С.), 30 (72), вып. 1, 1952, с. 181-196. [Transl. into English: AMS Transl., (1)5, 1962, pp. 396-413]
Hauser H., Risler J.-J. and Teissier B. The reduced Bautin index of planar vector elds. // Duke Math. J. 100, 1999, pp. 42-445
Lloyd N.G. Limit cycles of polynomial systems - some recent developments. In New Direction in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1988, pp. 182-234
Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector elds. // Int. J. Bifurcation Chaos, 13, 2003, pp. 4-106
Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem. Chapter in the book Diferential Equations with Symbolic Computations, 2005, pp. 1-26
Варин В.П. Отображение последования некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений // Матем. Сборник, 195(7), 2004, стр. 3-20
Romanovski V.G., Jarrah A.S. , Laubenbacher R. The cyclicity problem for two-dimensional polynomial systems. // Dierential Equations and Control Processes, 2, 2008
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.: Физматгиз, 1959
Chavarriga J., Grau M. Some open problems related to 16th Hilbert problem. // Sci. Ser. A Math. Sci. N.S., 9, 2003, pp. 1-26.
Dumortier F., Llibre J. and Artes J. Qualitative Theory of Planar Dierential Systems. Berlin: Springer, 2006
Christopher C. and Li Ch. Limit cycles of dierential equations. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Basel: Birkhauser Verlag, 2007
Gine J. On some problems in planar dierential systems and Hilbert's 16th problem. // Chaos, Solutions and Fractals, Vol. 31, 2007, pp. 1118-1134
Yu P., Chen G. Computation of focus values with applications. // Nonlinear Dynamics, 51(3), 2008, pp. 409-427
Yu P. Computation of normal forms via a perturbation technique. // J. Sound Vibr., 211, 1998, pp. 19-38
Sabatini M. & Chavarriga J. A survey of isochronous centers. // Qualitative Theory of Dynamical Systems, 1, 1999, pp. 1-70
Gasull A., Guillamon A. and Manosa V. An explicit expression of the rst Liapunov and period constants with applications, J. Math. Anal. Appl., 211, 1997, pp. 190-212
Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraligerIntegralkurven) in der Umgebung Rationalre Unbestimmtkeitssellen. // Math. Annalen 109, 1934, pp. 395-424.
Леонов Г.А. Предельные циклы уравнения Льенара с разрывными коэффициентами, // Доклады Академии наук, сер. Механика, 2009, том 426, №1, с. 47-50
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Lyapunov quantities and limit cycles of two-dimensional dynamical systems. Analytical methods and symbolic computation. // Regualar and chaotic dynamics, 2010. [in print]
Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах, // Прикладная математика и механика, Том 74, Вып. 1, 2010, стр. 37-73
Leonov G.A. Attractors, limit cycles and homoclinic orbits of low dimensional quadratic systems. analytical methods, // Canadian Applied Math Quarterly, Volume 17, 1, 2010, 121-159
Леонов Г.А. Четыре предельных цикла в квадратичных двумерных системах с возмущенным слабым фокусом первого порядка // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 431, № 4, с. 447-449
Леонов Г.А. Предельные циклы в квадратичных системах со слабым фокусом первого порядка // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 435, № 4, с. 1-4
Леонов Г.А. Необходимые и достаточные условия ограниченности решений двумерных квадратичных систем в положительно инвариантной полуплоскости // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 430, № 2, стр. 157-159
Леонов Г.А. Синтез двумерных квадратичных систем с предельным циклом, имеющим заданные начальные условия, // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 431, № 3, стр. 316-318
Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В. Прямой метод вычисления ляпуновских величин двумерных динамических систем // Труды Института Математики и Механики УрО РАН, Том 16, №1, 2010, стр. 119-126
Леонов Г.А., Кузнецов Н.В. Предельные циклы квадратичных систем с возмущенным слабым фокусом 3-го порядка и седловым состоянием равновесия на бесконечности // Доклады академии наук, сер. Математика, том 434, №1, 2010, стр. 21-24
Леонов Г.А. Критерий существования четырех предельных циклов в квадратичных системах // Прикладная математика и механика, Т. 74, N2, 2010, стр. 191-201
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Evaluation of the First Five Lyapunov Exponents for the Lienard System. Doklady Physics, 54(3), 2009, pp. 131133
Кузнецова О.А. Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 10, №4, 2010, 25-29
Серебрякова Н.Н. О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где безопасная граница переходит в опасную // Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение, 2, 1959, с. 178-182
Щуко С.Д. Вычисление ляпуновских величин ан ЭВЦМ // Труды Горьковского инст. инж. водного транспорта, № 94, 1968, с. 97-109
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Computation of Lyapunov quantities. 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (http://lib.physcon.ru/?item=1802), 2008.
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Limit cycles and strange behavior of trajectories in two dimension quadratic systems. // Journal of Vibroengineering, Vol. 10, Iss. 4, 2008, pp. 460-467.
Leonov G.A., Kuznetsov, N.V. and Kudryashova E.V. Limit cycles of two dimensional systems. Calculations, proofs, experiments. // Vestnik St.Petersburg University. Mathematics, 41(3), 2008, pp. 216-250.
Kuznetsov N.V. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications. Jyvaskyla University Printing House, Jyvaskyla, 2008
Poincare H. Memoire sur les courbes denies par lesequations dieentielles. // J. de. Mathematiques Pures et Appliquees, 4, Vol. 1, 1885, pp. 167-244
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892
Leonov G.A. and Kuznetsov N.V. Time-Varying Linearization and Perron eects. // International journal of bifurcation and chaos Vol. 17, issue 4, 2007, pp. 1-29
Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр // Мат. сборник (Н.С.), 30 (72), вып. 1, 1952, с. 181-196. [Transl. into English: AMS Transl., (1)5, 1962, pp. 396-413]
Hauser H., Risler J.-J. and Teissier B. The reduced Bautin index of planar vector elds. // Duke Math. J. 100, 1999, pp. 42-445
Lloyd N.G. Limit cycles of polynomial systems - some recent developments. In New Direction in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1988, pp. 182-234
Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector elds. // Int. J. Bifurcation Chaos, 13, 2003, pp. 4-106
Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem. Chapter in the book Diferential Equations with Symbolic Computations, 2005, pp. 1-26
Варин В.П. Отображение последования некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений // Матем. Сборник, 195(7), 2004, стр. 3-20
Romanovski V.G., Jarrah A.S. , Laubenbacher R. The cyclicity problem for two-dimensional polynomial systems. // Dierential Equations and Control Processes, 2, 2008
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.: Физматгиз, 1959
Chavarriga J., Grau M. Some open problems related to 16th Hilbert problem. // Sci. Ser. A Math. Sci. N.S., 9, 2003, pp. 1-26.
Dumortier F., Llibre J. and Artes J. Qualitative Theory of Planar Dierential Systems. Berlin: Springer, 2006
Christopher C. and Li Ch. Limit cycles of dierential equations. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Basel: Birkhauser Verlag, 2007
Gine J. On some problems in planar dierential systems and Hilbert's 16th problem. // Chaos, Solutions and Fractals, Vol. 31, 2007, pp. 1118-1134
Yu P., Chen G. Computation of focus values with applications. // Nonlinear Dynamics, 51(3), 2008, pp. 409-427
Yu P. Computation of normal forms via a perturbation technique. // J. Sound Vibr., 211, 1998, pp. 19-38
Sabatini M. & Chavarriga J. A survey of isochronous centers. // Qualitative Theory of Dynamical Systems, 1, 1999, pp. 1-70
Gasull A., Guillamon A. and Manosa V. An explicit expression of the rst Liapunov and period constants with applications, J. Math. Anal. Appl., 211, 1997, pp. 190-212
Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraligerIntegralkurven) in der Umgebung Rationalre Unbestimmtkeitssellen. // Math. Annalen 109, 1934, pp. 395-424.
Леонов Г.А. Предельные циклы уравнения Льенара с разрывными коэффициентами, // Доклады Академии наук, сер. Механика, 2009, том 426, №1, с. 47-50
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Lyapunov quantities and limit cycles of two-dimensional dynamical systems. Analytical methods and symbolic computation. // Regualar and chaotic dynamics, 2010. [in print]
Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах, // Прикладная математика и механика, Том 74, Вып. 1, 2010, стр. 37-73
Leonov G.A. Attractors, limit cycles and homoclinic orbits of low dimensional quadratic systems. analytical methods, // Canadian Applied Math Quarterly, Volume 17, 1, 2010, 121-159
Леонов Г.А. Четыре предельных цикла в квадратичных двумерных системах с возмущенным слабым фокусом первого порядка // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 431, № 4, с. 447-449
Леонов Г.А. Предельные циклы в квадратичных системах со слабым фокусом первого порядка // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 435, № 4, с. 1-4
Леонов Г.А. Необходимые и достаточные условия ограниченности решений двумерных квадратичных систем в положительно инвариантной полуплоскости // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 430, № 2, стр. 157-159
Леонов Г.А. Синтез двумерных квадратичных систем с предельным циклом, имеющим заданные начальные условия, // Доклады академии наук, сер. Математика, 2010, том 431, № 3, стр. 316-318
Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В. Прямой метод вычисления ляпуновских величин двумерных динамических систем // Труды Института Математики и Механики УрО РАН, Том 16, №1, 2010, стр. 119-126
Леонов Г.А., Кузнецов Н.В. Предельные циклы квадратичных систем с возмущенным слабым фокусом 3-го порядка и седловым состоянием равновесия на бесконечности // Доклады академии наук, сер. Математика, том 434, №1, 2010, стр. 21-24
Леонов Г.А. Критерий существования четырех предельных циклов в квадратичных системах // Прикладная математика и механика, Т. 74, N2, 2010, стр. 191-201
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Evaluation of the First Five Lyapunov Exponents for the Lienard System. Doklady Physics, 54(3), 2009, pp. 131133
Кузнецова О.А. Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 10, №4, 2010, 25-29
Modern symbolic computation methods: Lyapunov quantities and 16th Hilbert problem
Abstract
In this work various methods of Lyapunov quantities computation are discussed and implementations of symbolic computation algorithms, based on them, in Matlab are shown.Опубликован
2011-03-01
Как цитировать
Леонов, Г. А., Кузнецов, Н. В., Кудряшова, Е. В., & Кузнецова, О. А. (2011). Современные методы символьных вычислений: ляпуновские величины и 16-я проблема Гильберта. Труды СПИИРАН, 1(16), 5-36. https://doi.org/10.15622/sp.16.1
Раздел
Статьи
Авторы, которые публикуются в данном журнале, соглашаются со следующими условиями:
Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и передают журналу право первой публикации вместе с работой, одновременно лицензируя ее на условиях Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным указанием авторства данной работы и ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторы сохраняют право заключать отдельные, дополнительные контрактные соглашения на неэксклюзивное распространение версии работы, опубликованной этим журналом (например, разместить ее в университетском хранилище или опубликовать ее в книге), со ссылкой на оригинальную публикацию в этом журнале.
Авторам разрешается размещать их работу в сети Интернет (например, в университетском хранилище или на их персональном веб-сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению, а также к большему количеству ссылок на данную опубликованную работу (Смотри The Effect of Open Access).
